Tagarchief: Aristoteles

De paradoxen van Zeno

Zeno van Elea

Zeno van Elea leefde in de vijfde eeuw vóór Christus (BCE). Hij was de eerste filosoof die aantoonde dat ruimte en tijd oneindig deelbaar zijn. In zijn paradoxen confronteerde hij niet alleen zijn tijdgenoten met deze tegenstrijdigheden, maar ook heden ten dage worden er nog hele bibliotheken volgeschreven over de oneindige deling van 'ruimte en tijd', voornamelijk door filosofen.

Er zijn meerdere paradoxen van Zeno bekend, waarvan de eerste vier over beweging gaan:

  • Achilles
  • Dichotomie
  • De pijl
  • De bewegende rijen

We hebben van deze paradoxen indirect kennis kunnen nemen. Voornamelijk door het aanhalen en becommentariëren door Aristoteles (384-322 BCE), maar ook door Plato (427-347 BCE), Proclus (410-485 CE) en Simplicius (490-560 CE). De namen van de paradoxen zijn door de commentatoren gegeven en niet door Zeno.

Parmenides

Hoewel dit niet zeker is, wordt algemeen aangenomen dat Zeno met zijn paradoxen de ideeën van zijn tijdgenoot en wellicht zijn leermeester Parmenides wilde ondersteunen.
Parmenides van Elea (rond 540 BCE) was een Griekse filosoof die tot de pre-socraten wordt gerekend. Hij stelde 'waarheid' en 'weten' tegenover 'schijn' en 'voorstelling'.

“Alles staat stil,” argumenteerde Parmenides.
“Immers: het zijnde is, en het niet-zijnde is niet. Volheid maakt beweging onmogelijk. Voor beweging is dus een lege ruimte nodig. Maar: lege ruimte is het niet-zijnde en bestaat dus niet.”

Zijn conclusie was zo sterk in tegenspraak met de alledaagse ervaring, dat zij niet waar kón zijn. Toch was er geen speld tussen te krijgen. En áls iemand dat toch probeerde, dan kreeg hij al snel te maken met een van de scherpzinnige paradoxen van Zeno.

“Een lichaam dat op een plaats is die aan zijn volume gelijk is, is in rust. Een pijl die voort vliegt, is ieder ogenblik op een plaats die gelijk is aan zijn volume. Op ieder ogenblik is de pijl dus in rust. Als we al deze ogenblikken bij elkaar optellen, dan blijkt dat de pijl steeds in rust is geweest.”

Zeno’s paradox van de pijl kon door geen enkele wijsgeer worden weersproken.

Drogreden

Iedereen kon aanvoelen dat Zeno’s redenering op een drogreden berustte, maar niemand kon precies aangeven waar zijn fout zat. Alle pogingen van de Grieken om het ongelijk van Parmenides en Zeno aan te tonen, leidden tot nieuwe dwaalsporen.
Enerzijds resulteerden ze in speciaal hiervoor ontworpen principes als ‘het niets bestaat evengoed als het iets’, anderzijds in het filosofisch systeem van Aristoteles (384-322 BCE). Dat zat zo gedegen in elkaar, dat het de westerse wereld vijftien eeuwen zou kosten om er zich aan te ontworstelen.

De bekendste paradox van Zeno is die van Achilles en de schildpad:
Het verhaal toont aan dat het opdelen van een probleem in deelproblemen niet altijd leidt tot een resultaat dat overeenkomt met ons gezond verstand.

Achilles en de schildpad

(bron: Wikipedia

De snelvoetige Achilles – hij is de belangrijkste held uit de Trojaanse oorlog en de hoofdpersoon in het boek van Homerus, Ilias. Homerus beschrijft de held als de schoonste, de dapperste, sterkste en verhevenste van alle helden – gaat een wedstrijd aan met een schildpad. De schildpad krijgt een voorsprong. Wanneer Achilles het punt A bereikt, waar de schildpad kort tevoren was, is de schildpad intussen bij punt B aangekomen. Arriveert Achilles bij dit punt B, dan is de schildpad intussen aangekomen bij punt C, enzovoorts.

De schildpad daagde Achilles uit voor een hardloopwedstrijd. Hij beweerde dat hij zou winnen als Achilles hem een kleine voorsprong gaf. Achilles moest lachen, want hij was natuurlijk een machtige strijder, snel van voet, terwijl de schildpad zwaar en langzaam was.

“Hoeveel voorsprong?” vroeg hij de Schildpad met een glimlach.
“Tien meter,” antwoordde deze.
Achilles lachtte harder dan ooit.
“Dan ga jij zeker verliezen vriend”, vertelde hij de Schildpad,
“maar laten we vooral rennen, als je dat graag wilt.”
“In tegendeel,” zei de Schildpad,
“ik zal winnen, en ik kan het je met een eenvoudige redenering bewijzen.”
“Kom op dan,” antwoordde Achilles, die al iets minder vertrouwen voelde dan eerst.

Hij wist dat hij de superieure atleet was, maar hij wist ook dat de Schildpad een scherper verstand had, en dat hij al vaak een discussie met het dier had verloren.

“Veronderstel,” begon de Schildpad,
“dat u me een voorsprong van 10 meter geeft. Zou u zeggen dat u die 10 meters tussen ons snel kunt afleggen?”
“Zeer snel,” bevestigde Achilles.
“En hoeveel meter heb ik in die tijd afgelegd, denkt u?”
“Misschien een meter, niet meer,” zei Achilles na even nagedacht te hebben.
“Zeer goed,” antwoordde de Schildpad,
“dus nu is er een meter afstand tussen ons. En zou u die achterstand snel inlopen?”
“Zeer snel inderdaad!”
“En toch zal ik in die tijd verder gegaan zijn, zodat u DIE afstand moet inhalen, ja?”
“Eeh ja” zei Achilles langzaam.
“En terwijl u dat doet, zal ik een stukje verder gegaan zijn, zodat u steeds een nieuwe achterstand moet inlopen” ging de Schildpad stug door.
Achilles zei niets.
“En zo ziet u, elke periode dat u bezig bent uw achterstand in te halen, zal ik gebruiken om een nieuwe afstand, hoe klein ook, aan die achterstand toe te voegen.”
“Inderdaad, daar valt geen speld tussen te krijgen,” antwoordde Achilles, nu al vermoeid.
“En zo kunt u nooit de achterstand inlopen,” besloot de Schildpad met een sympathieke glimlach.
“U heeft gelijk, zoals altijd,” besloot Achilles droevig – en gaf de race gewonnen.

De achterstand wordt steeds kleiner, maar Achilles haalt de schildpad nooit in. Dit is een paradox, want in werkelijkheid zou Achilles de schildpad natuurlijk wél inhalen.

De paradox weerlegd

De Duitse filosoof Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) leverde dat bewijs. Leibniz ontwikkelde de differentiaal- en integraalrekening. En het was met déze wetenschap dat het begrip beweging voor het eerst glashelder kon worden beschreven als een variabele functie van plaats en tijd: De som van een reeks oneindige limieten is eindig.
Zo leidde de eerste paradox uit de geschiedenis uiteindelijk tot een vernieuwing van de wiskunde.

© Frank van Exter

Advertenties